О тау-функциях, связанных с линейными системами

Пусть $(-A,B,C)$ — линейная система с непрерывным временем $t>0$, пространством входов и выходов ${\bf C}$ и пространством состояний $H$. Функция $\phi_{(x)}(t)=Ce^{-(t+2x)A}B$ задаёт интегральный оператор Ганкеля $\Gamma_{\phi_{(x)}}$ в пространстве $L^2((0,\infty);{\bf C})$; если $\Gamma_{\phi_{(x)}}$ принадлежит классу операторов следа, то определитель Фредгольма $\tau(x)=\det(I+\Gamma_{\phi_{(x)}})$ определяет тау-функцию системы $(-A,B,C)$. Такие тау-функции возникают в теории матричных моделей Трейси и Видома, где они описывают фундаментальные вероятностные распределения теории случайных матриц. Дайсон рассматривал такие тау-функции в обратной спектральной задаче для уравнения Шрёдингера $-f''+uf=\lambda f$ и вывел формулу для потенциала $u(x)=-2\frac{d^2}{dx^2}\log\tau(x)$ в самосопряжённом случае рассеяния [Commun. Math. Phys. 47 (1976), 171–183]. В статье вводится оператор-функция $R_x$, удовлетворяющая уравнению Ляпунова $\frac{dR_x}{dx}=-AR_x-R_xA$ и соотношению $\tau(x)=\det(I+R_x)$, без предположения самосопряжённости. Если $-A$ является секторным оператором, а $B,C$ — операторы Гильберта–Шмидта, существует некоммутативное дифференциальное кольцо ${\cal A}$ операторов в $H$ и гомоморфизм дифференциальных колец $\lfloor\,\cdot\,\rfloor:{\cal A}\rightarrow{\bf C}[u,u',\dots]$, такой что $u=-4\lfloor A\rfloor$. Это служит заменой правилам умножения для операторов Ганкеля, рассматривавшимся Пёппе и Маккином [Cent. Eur. J. Math. 9 (2011), 205–243]. В статье получены условия на $(-A,B,C)$, при которых уравнение Шрёдингера с мероморфным $u$ интегрируется в квадратурах. Специальные результаты применяются к линейным системам, связанным с потенциалами рассеяния, периодическими и эллиптическими потенциалами. В статье построено семейство решений дифференциальных уравнений Кадомцева–Петвиашвили и доказано, что определённые семейства тау-функций удовлетворяют тождествам Фэя.