Обобщение теоремы Пика на поверхности многогранников

Теорема Пика — одна из редких жемчужин элементарной математики, поскольку невинно звучащая гипотеза приводит к весьма неожиданному выводу (Bogomolny, 1997). При этом формулировка теоремы доступна пониманию ученика пятого класса. Многоугольник называется решётчатым, если координаты его вершин являются целыми числами. Теорема Пика утверждает, что площадь решётчатого многоугольника P определяется формулой A(P) = I(P) + B(P)/2 − 1 = V(P) − B(P)/2 − 1, где I(P), B(P) и V(P) — соответственно число внутренних решётчатых точек, число граничных решётчатых точек и общее число решётчатых точек многоугольника P. Следует отметить, что I(P), понимаемая как цифровая площадь, используется в качестве стандартной меры цифрового картографирования в США с 1980-х годов (Morrison, J. L., 1988, 1989). Поскольку теорема Пика была впервые опубликована в 1899 году, планировалось приурочить доклад к её столетнему юбилею. В настоящее время теорема имеет большее значение, чем считалось ранее, поскольку устанавливает связь между классической евклидовой геометрией и современной цифровой (дискретной) геометрией. За этот период было разработано множество доказательств теоремы Пика, а также предпринято немало попыток обобщить её от простых многоугольников до сложных полигональных сетей и распространить на трёхмерные геометрические объекты. Кроме того, стало очевидно, что в настоящее время на первый план выходят обратные формулы Пика, заменяя исходные формулы, по мере широкого распространения цифровой геометрии и картографирования. Вопрос теперь состоит не в традиционном: как определить площадь без координат, используя только внутренние и граничные точки? Напротив, возникает вопрос: как по известным координатам вершин простым способом определить цифровую границу и цифровую площадь, то есть число граничных и внутренних точек? Обратные формулы имеют вид: B(P) = Σ GCD(ΔX, ΔY, ΔZ) (одномерная теорема Пика) и I(P) = A(P) − B(P)/2 + 1 (двумерная теорема Пика), где GCD обозначает наибольший общий делитель разностей координат...