Вторые моменты в обобщённой задаче о круге Гаусса

Обобщённая задача о круге Гаусса посвящена изучению расхождения между числом точек решётки и объёмом больших сфер. Мы исследуем ряд Дирихле, связанный с $P_k(n)^2$, где $P_k(n)$ — расхождение между объёмом $k$-мерной сферы радиуса $\sqrt{n}$ и числом целочисленных точек решётки, содержащихся в этой сфере. Мы доказываем асимптотические формулы с улучшенными степенными остаточными членами для сглаженных сумм, включая $\sum P_k(n)^2e^{-n/X}$ и преобразование Лапласа $\int_0^\infty P_k(t)^2e^{-t/X}\,dt$, в размерностях $k\geq 3$. Мы также получаем главные члены и остаточные члены со степенной экономией для резких сумм $\sum_{n\leq X}P_k(n)^2$, а также аналогичные результаты для резкого интеграла $\int_0^X P_3(t)^2\,dt$. Это включает получение первого остаточного члена со степенной экономией в среднем квадратичном смысле для трёхмерной задачи о круге Гаусса.