Задача о круге Гаусса и проблема о делителях Дирихле — всё ещё нерешённые

Пусть r2(n) обозначает число представлений положительного целого числа n в виде суммы двух квадратов, а d(n) — число положительных делителей числа n. Очевидно, Гаусс и Дирихле были первыми математиками, получившими соответственно асимптотические формулы для ∑n ⩽ x r2(n) и ∑n ⩽ x d(n) при стремлении x к бесконечности. Но какова погрешность таких приближений? Теоретики чисел пытаются ответить на эти два вопроса уже более полутора столетий, и хотя мы считаем, что в сущности «знаем», каковы эти погрешности, прогресс в доказательстве соответствующих гипотез идёт мучительно медленно. Рамануджан проявлял живой интерес к этим задачам и, хотя, насколько нам известно, не установил никаких оценок для остаточных членов, он дал нам тождества, которые использовались для получения оценок, а также ещё два тождества, которые могли бы оказаться полезными, если удастся понять, как ими воспользоваться. В этой статье мы рассматриваем известные результаты по этим двум знаменитым нерешённым проблемам, уделяя умеренное внимание вкладу Рамануджана.