Аналог теоремы Александрова о проекциях для выпуклых решётчатых многоугольников

Пусть $K$ и $L$ — центрально-симметричные относительно начала координат выпуклые решётчатые многогранники в $\mathbb{R}^n$. Мы исследуем дискретный аналог теоремы Александрова о проекциях. Если для каждого $u\in\mathbb{Z}^n$ множества $(K\cap\mathbb{Z}^n)|u^\perp$ и $(L\cap\mathbb{Z}^n)|u^\perp$ содержат одинаковое число точек, следует ли, что $K=L$? Мы даём положительный ответ на этот вопрос в $\mathbb{Z}^2$ при дополнительном условии, что множества $(2K\cap\mathbb{Z}^2)|u^\perp$ и $(2L\cap\mathbb{Z}^2)|u^\perp$ содержат одинаковое число точек для каждого $u\in\mathbb{Z}^n$.