Неравенство Брунна—Минковского для целочисленной решётки

Получен близкий дискретный аналог классического неравенства Брунна—Минковского для конечных подмножеств целочисленной решётки. Этот результат применяется для получения новых сильных нижних оценок мощности суммы двух конечных множеств, одно из которых имеет полную размерность, а также, в частности, метода вычисления точной нижней границы в данном случае по размерности решётки и мощностям двух множеств. В свою очередь, эти оценки дают соответствующие новые границы для функции подсчёта точек решётки в сумме Минковского двух выпуклых решёточных многогранников. Кроме того, доказан аналог неравенства Роджерса—Шепарда для функции подсчёта точек решётки на плоскости.