О некоторых вариантах задачи о круге Гаусса

Задача о круге Гаусса состоит в нахождении асимптотики числа точек решётки, лежащих внутри круга, через радиус круга. Эвристическое предположение о том, что число точек очень близко к площади круга, оказывается удивительно точным. В этой работе мы описываем два варианта задачи о круге Гаусса, обладающие сходными характеристиками. Первый вариант связан с суммами коэффициентов Фурье кулевых форм на $\mathrm{GL}(2)$. Эти суммы ведут себя очень похоже на остаточный член в задаче о круге Гаусса. Мы вводим новые ряды Дирихле с коэффициентами, являющимися квадратами частичных сумм коэффициентов Фурье кулевых форм. Мы исследуем мероморфные свойства этих рядов Дирихле и используем их для получения новых представлений о среднем квадрате величины сумм этих коэффициентов Фурье. Второй вариант связан с числом точек решётки ограниченного размера на однополостных гиперболоиды. Эта задача очень похожа на подсчёт числа точек решётки внутри сфер различных размерностей, за исключением дополнительного ограничения, согласно которому точки должны лежать на гиперболоиде. Оказывается, что эта задача эквивалентна оценке сумм вида $\sum r_d(n^2 + h)$, где $r_d(m)$ — число представлений числа $m$ в виде суммы $d$ квадратов. Мы доказываем улучшенные сглаженные и точные оценки второго момента этих сумм, что приводит к улучшенным оценкам числа точек решётки.