Расстояния Громова—Хаусдорфа в евклидовых пространствах

Цель данной работы — исследовать взаимосвязь между мерами различия форм в евклидовом пространстве. Сначала мы рассматриваем пару, состоящую из расстояния Громова—Хаусдорфа (GH) и расстояния Хаусдорфа под действием евклидовых изометрий (EH). Затем мы (1) показываем, что в точном смысле эти расстояния сопоставимы, однако зависимость между ними отличается от линейной, которую можно было бы ожидать, и (2) объясняем источник этого явления с помощью явных конструкций. Наконец, (3) надлежащим образом модифицируя выражение для расстояния Громова—Хаусдорфа, мы восстанавливаем расстояние EH. Это позволяет выявить связь между задачами вычисления расстояний GH и EH и семейством задач восстановления евклидовых матриц расстояний. Вторая пара рассматриваемых мер различия состоит из так называемого расстояния Lp–Громова—Хаусдорфа и расстояния перемещения земли под действием евклидовых изометрий. Для этого случая мы также получаем результаты о сопоставимости этих расстояний.