Преобразование Лапласа второго момента в задаче о круге Гаусса

Задача о круге Гаусса касается разности P_2(n) между площадью круга радиуса √n и числом содержащихся в нём точек решётки. В этой работе мы исследуем ряд Дирихле с коэффициентами P_2(n)^2 и доказываем, что этот ряд допускает мероморфное продолжение на ℂ. Используя этот ряд, мы доказываем, что преобразование Лапласа функции P_2(n)^2 удовлетворяет соотношению ∫_0^∞ P_2(t)^2 e^{−t/X} dt = C X^{3/2} − X + O(X^{1/2+ε}), что даёт улучшение с степенной экономией по сравнению с предыдущим результатом Ивича [Ivić 1996]. Аналогично мы исследуем мероморфное продолжение ряда Дирихле, связанного с корреляциями r_2(n+h)r_2(n), где h фиксировано, а r_2(n) обозначает число представлений n в виде суммы двух квадратов. Используя этот ряд Дирихле, мы доказываем асимптотические формулы для ∑_{n ≥ 1} r_2(n+h)r_2(n)e^{−n/X} и получаем дополнительное вычисление главного коэффициента в асимптотической формуле для ∑_{n ≤ X} r_2(n+h)r_2(n).