Реализации расстояния Громова—Хаусдорфа

Показано, что для любых двух компактных метрических пространств существует «оптимальное» соответствие, на котором достигается расстояние Громова—Хаусдорфа. Каждое такое соответствие порождает изометрические вложения этих пространств в компактное метрическое пространство, причем расстояние Громова—Хаусдорфа между исходными пространствами равно расстоянию Хаусдорфа между их образами. Оптимальные соответствия также могут использоваться для построения кратчайших кривых в пространстве Громова—Хаусдорфа точно так же, как это было сделано Александром Ивановым, Надеждой Николаевой и Алексеем Тужилиным в работе arXiv:1504.03830, где доказано, что пространство Громова—Хаусдорфа является геодезическим. Отметим, что все доказательства в настоящей работе элементарны и используют не более чем идею компактности.