Задачи со свободной границей в духе теоремы Сакаи

Функция Шварца в открытой области Ω — это голоморфная функция, удовлетворяющая условию S(ζ) = ζ̄ на Γ, являющейся частью границы Ω. В 1991 году Сакаи дал полную характеристику границы области, допускающей функцию Шварца. В частности, если Ω односвязна и Γ = ∂Ω ∩ D(ζ₀, r), то Γ должна быть регулярной вещественно-аналитической кривой, допускающей наличие cusps. Результат Сакаи имеет естественные приложения к (1) квадратичным областям и (2) задаче со свободной границей для уравнения Δu = 1. В рассматриваемых нами случаях Γ может быть вещественно-аналитической или лишь класса C∞, регулярной за исключением множества гармонической меры ноль либо регулярной за исключением конечного числа точек.