Лемма Шварца и функция ядра Сегё

В данной статье рассматриваются экстремальные задачи для семейства ограниченных аналитических функций в многосвязной области D, а также экстремальные задачи для среднего модуля ^c\f\ds мероморфных функций f в D, взятого по границе C области D. Показано, что эти два типа задач тесно связаны между собой, и для обоих типов одновременно получены решения методом контурного интегрирования. В своей диссертации Грунский использовал совершенно аналогичный метод. Поэтому интересно отметить, что фундаментальные теоремы искажения теории однолистных конформных отображений были развиты Грунским с помощью метода, который здесь удаётся применить для получения фундаментальных теорем искажения для ограниченных функций. Таким образом, обобщение леммы Шварца на многосвязные области и обобщение теоремы искажения Кёбе могут быть выполнены с помощью единой методики (3).