Доказательство гипотезы Римана

В статье построены два параллельных подхода — положительность типа Вейля и m-функция типа Херглотца, — связанные общим ядром, включающим эквивалентность в узкой полосе (η < log 2) и принцип единственности. Это позволяет установить гипотезу Римана (RH) для завершённой римановой функции ξ, а также обобщённую гипотезу Римана GRH(π) для самодвойственных L-функций типа GL(d). В рамках подхода Вейля показано, что меры μ_L и μ_ξ, возникающие соответственно на операторной и теоретико-числовой сторонах дистрибутивно нормированной явной формулы, совпадают в узкой полосе и посредством уплотнения продолжаются до F_log. В сочетании с известной теоремой Вейля об эквивалентности Q_ξ ≥ 0 ⇔ RH это даёт основную теорему о RH (теорема 8.23). В рамках подхода Херглотца с помощью полосоограниченного окна Φ построены операторная величина m_L^(Φ) и теоретико-числовая величина M_π^(Φ), после чего доказано их равенство на всей комплексной плоскости посредством сглаживания Пуассона и принципа единственности представления Херглотца. Из самосопряжённости и положительности меры Неванлинны следует, что все нетривиальные нули лежат на критической прямой, что приводит к основной теореме о GRH(π) (теорема 10.35 / теорема 10.39). В широкой полосе конечные суммы по простым и вклады от концов поглощаются регуляризованным определителем det_2 и его производящей функцией. Благодаря точной калибровке констант, возникающих из проводника, архимедовых членов и порядка обращения в нуль на концах, обеспечивается устойчивость контроля погрешности. В качестве приложений показано, что L-функции характеров Дирихле, характеров Гекке, голоморфных параболических форм GL(2) и новых форм Маасса удовлетворяют аксиомам (AL1)–(AL5), а GRH(π) непосредственно следует из аргументов, приведённых только в этой главе (предложение 10.43, следствие 10.44). Общие соглашения относительно преобразования Фурье, граничных значений, преобразования Кэли, det_2 и других объектов собраны в приложении для обеспечения воспроизводимости и прозрачности в consta...