Биномиальные пролатоидные сфериальные функции, матрицы Паскаля и арифметика эллиптических кривых

Симметричная матрица Паскаля размера (N+1)×(N+1) T_N является обобщённым дискретным оператором ограничения по времени и полосе для биномиального преобразования, и её собственные векторы представляют собой обобщённые дискретные пролатоидные сферические волновые функции, которые мы называем биномиальными пролатами. Их порождающие функции также являются обобщёнными пролатоидными функциями в том смысле, что одновременно являются собственными функциями третьего порядка дифференциального оператора и интегрального оператора на прямой {z ∈ C: Re(z) = 1/2}. Для чётных положительных целых N мы получаем явную формулу для порождающей функции собственного вектора симметричной матрицы Паскаля с собственным значением 1. Когда N = p−1 для нечётного простого p, мы показываем, что порождающая функция эквивалентна по модулю p выражению ( #E_z(F_p) − 1 )^2, где #E_z(F_p) — число точек кривой Лежандра y^2 = x(x−1)(x−z) над конечным полем F_p. Более того, когда N = p^n−1, наша порождающая функция является квадратом периода E_z по модулю p^n в открытом p-адическом единичном круге.