Обобщение теоремы Пика на поверхности многогранников

Теорема Пика является одной из редких жемчужин элементарной математики, поскольку из невинно звучащей гипотезы следует весьма неожиданный вывод (Bogomolny, 1997). При этом формулировка теоремы понятна даже ученику пятого класса. Многоугольник называется решётчатым, если координаты его вершин являются целыми числами. Теорема Пика утверждает, что площадь решётчатого многоугольника P определяется формулой A(P) = I(P) + B(P) / 2 − 1 = V(P) − B(P) / 2 − 1, где I(P), B(P) и V(P) — соответственно число внутренних решётчатых точек, число граничных решётчатых точек и общее число решётчатых точек многоугольника P. Следует отметить, что I(P), понимаемая как цифровая площадь, используется в качестве стандартной меры цифрового картографирования в США с 1980-х годов (Morrison, J. L., 1988 и 1989). Поскольку теорема Пика была впервые опубликована в 1899 году, проведение запланированного доклада приурочивалось к её столетию. В настоящее время она имеет большее значение, чем считалось ранее, поскольку теорема Пика устанавливает связь между классической евклидовой геометрией и современной цифровой (дискретной) геометрией. За этот длительный период было получено множество доказательств теоремы Пика и предпринято немало попыток обобщить её от простых многоугольников до сложных многоугольных сетей, а также распространить её на трёхмерные геометрические объекты. Кроме того, стало ясно, что в наши дни на первый план выходят обратные формулы Пика, а не исходные, что связано с широким распространением цифровой геометрии и картографирования. Сегодня вопрос уже не формулируется традиционным образом: как определить площадь без координат, используя только внутренние и граничные точки? Напротив, возникает вопрос: как, зная координаты вершин, простым способом определить цифровую границу и цифровую площадь, то есть количество граничных и внутренних точек? Обратные формулы имеют вид: B(P) = Σ GCD(ΔX, ΔY, ΔZ) (одномерная теорема Пика) и I(P) = A(P) − B(P) / 2 + 1 (двумерная теорема Пика), где GCD обозначает наибольший общий делитель разностей координат…