О первом доказательстве несчётности Кантора, теореме Пика и иррациональности золотого сечения
On Cantor's First Uncountability Proof, Pick's Theorem, and the Irrationality of the Golden Ratio
2010-01-01
SCID: 54.1/zc8r9ryu
Discuss with AI
первое доказательство несчётности Канторатеорема Пикаиррациональность золотого сечениягеометрия целочисленных точекстандартная нумерация рациональных чисел
Figures from the paper
Abstract (AI)
В своём первоначальном доказательстве несчётности множества действительных чисел (не используя диагональный аргумент) Кантор строит для любой счётной последовательности действительных чисел действительное число, не входящее в эту последовательность. Если применить этот аргумент к определённому стандартному перечислению рациональных чисел, то построенное действительное число необходимо будет иррациональным. Используя элементы планиметрии, включая теорему Пика о числе узлов решётки, заключённых в некоторых многоугольных областях, мы показываем, что это число является величиной, обратной золотому сечению, откуда следует общеизвестный факт иррациональности золотого сечения.
Key Findings
1
Применение первоначального доказательства несчётности Кантора к стандартному перечислению рациональных чисел порождает вещественное число, отсутствующее в перечислении и потому иррациональное.
2
Теорема Пика связывает подсчёт точек решётки в подходящих многоугольных областях с выводом об иррациональности.
3
Это геометрическое отождествление даёт доказательство иррациональности золотого сечения.
4
С помощью планарной геометрии и теоремы Пика построенное вещественное число отождествляется с величиной, обратной золотому сечению.
Research Object
Вещественное число, построенное в первом доказательстве несчётности Кантора при применении к стандартной нумерации рациональных чисел
Research Subject
Геометрическая идентификация этого построенного числа как обратной величины золотого сечения, устанавливающая иррациональность золотого сечения
Publication Details
Publication Date
2010-01-01
Journal
Publisher
ISSN
Access Type
Author Information
Download PDF
Subscribe to digest