Convolution Quadrature and Boundary Element Methods in wave propagation: a time domain point of view

In dieser Arbeit wird untersucht, inwieweit sich Wellenphänomene mittels Randintegralmethoden approximieren lassen. Derartige Methoden zeichnen sich dadurch aus, dass anstelle einer partiellen Differentialgleichung eine Integralgleichung am Rand des Gebiets betrachtet wird. Ein Vorteil dieser Formulierung ist, dass dadurch Streuprobleme auf unbeschränkten Gebieten numerisch behandelt werden können. Für stationäre Probleme sind Randelementmethoden bereits eine etablierte alternative zu klassischen Finite Element Methoden. Um Randintegralmethoden für Zeitabhängige Probleme anwendbar zu machen bietet sich die Methode der Faltungsquadratur von Lubich an. Diese Methode besitzt günstige Stabilitätseigenschaften und besitzt ein Äquivalenzprinzip zur Approximation einer Halbgruppe mittels eines passenden Zeitschrittverfahrens. Dieses Prinzip wird in dieser Arbeit ausgenutzt um das betrachtete Diskretisierungsschema zu analysieren und unterscheidet sich von der klassischen Herangehensweise, welche die Konvergenz mittels Abschätzungen im Laplace-Bereich zeigt. Diese reine Zeitbereichsmethode hat den Vorteil, dass die so erlangten Abschätzungen meist schärfer sind und mit weniger Regularitätsannahmen auskommen. In dieser Arbeit werden drei unterschiedliche Modellprobleme betrachtet: die zeitabhängige Schrödingergleichung in R d, diskretisiert mittels einer Kombination von Finiten- und Randelementen, ein nichtlineares Streuproblem im Außenraum, gegeben durch die lineare Wellengleichung mit nichtlinearer Randbedingung, und ein Streuproblem für Kompositmaterialien mit nicht-konstanter Wellenzahl. Für diese Modellprobleme werden Fragen zur Konvergenz und Stabilität beantwortet. Numerische Simulationen untermauern die theoretischen Resultate.