Экспоненциальные суммы и точки решётки III

Задача о круге Гаусса и задача о делителях Дирихле являются частными случаями задачи подсчёта точек целочисленной решётки в плоской области, ограниченной кусочно-гладкой кривой. В методе экспоненциальных сумм Бомбьери—Иваньека—Моццочи необходимо подсчитать число пар дуг граничной кривой, которые можно совместить посредством автоморфизма целочисленной решётки. Эти совпадения параметризуются целыми точками, расположенными вблизи некоторых плоских кривых — резонансных кривых. В данной работе устанавливается итерационный шаг: из сильной гипотезы о целых точках, расположенных вблизи кривых, выводится оценка для невязки — разности между числом целых точек и площадью, — аналогично последним результатам для одиночных экспоненциальных сумм. Сам метод Бомбьери—Иваньека—Моццочи даёт оценки числа целых точек вблизи кривой в части требуемого диапазона и, в принципе, может применяться итеративно. Мы используем оценку, полученную методом аппроксимационных определителей Свиннертона—Дайера. В оценке невязки O(R^K (log R)^Λ), выраженной через максимальный радиус кривизны R, мы уменьшаем K с 2/3 (классическое значение) и 46/73 (статья II этой серии) до 131/208. Соответствующий показатель в задаче о делителях Дирихле становится равным K/2 = 131/416. Математическая предметная классификация 2000 года: 11P21, 11L07.