Методы свёрточной квадратуры и граничных элементов в распространении волн: подход во временной области

В работе исследуется, в какой степени волновые явления могут быть аппроксимированы с помощью методов граничных интегральных уравнений. Такие методы характеризуются тем, что вместо уравнения в частных производных рассматривается интегральное уравнение на границе области. Преимущество этой формулировки заключается в возможности численного решения задач рассеяния в неограниченных областях. Для стационарных задач методы граничных элементов уже являются признанной альтернативой классическим методам конечных элементов. Для применения методов граничных интегральных уравнений к нестационарным задачам целесообразно использовать метод свёрточной квадратуры Любича. Этот метод обладает благоприятными свойствами устойчивости и удовлетворяет принципу эквивалентности при аппроксимации полугруппы с помощью подходящего метода временного шага. В данной работе этот принцип используется для анализа рассматриваемой схемы дискретизации, в отличие от классического подхода, в котором сходимость доказывается посредством оценок в области Лапласа. Преимущество данного метода, основанного исключительно на рассмотрении временной области, состоит в том, что получаемые оценки обычно являются более точными и требуют менее строгих предположений о регулярности. В работе рассматриваются три различные модельные задачи: нестационарное уравнение Шрёдингера в R^d, дискретизированное с использованием комбинации методов конечных и граничных элементов; нелинейная задача рассеяния во внешней области, описываемая линейным волновым уравнением с нелинейным граничным условием; и задача рассеяния для композиционных материалов с непостоянным волновым числом. Для этих модельных задач исследуются вопросы сходимости и устойчивости. Численные эксперименты подтверждают теоретические результаты.