Функция ошибки и её дополнение: Сравнение некоторых приближённых моделей

Применение законов сохранения к задачам переходного транспорта в большинстве процессов, включая диффузию, теплопередачу и перенос импульса, обычно приводит к параболическим уравнениям в частных производных, решения которых для полубесконечных систем обычно включают либо функцию ошибки, либо дополнительную функцию ошибки. Хотя для действительных аргументов этих функций доступны табличные значения, необходимость использования таблиц и интерполяций делает их вычислительно затратными при реализации в компьютерных программах и других приложениях. Несмотря на то, что к этим значениям подбирали упрощённые модели, крайне важно, чтобы такие модели сохраняли ключевые свойства исходных функций. Сочетая критерии точности, дифференцируемости и интегрируемости с математической согласованностью, в статье рассматриваются приближённые модели Калкая (Kalkaja, 2009), Винитцки (Winitzki, 2008), ван Халена (van Halen, 1989) и Грина (Greene, 1989), основанные на различных допущениях и отличающиеся формами и математической изящностью. По точности модель ван Халена (1989) оказывается наиболее надёжной, за ней следуют модели Винитцки (2008), Калкая (2009) и Грина (1989). Несмотря на наивысшую точность, модель ван Халена (1989) является наиболее сложной и вычислительно затратной. Хотя все модели непрерывны и дифференцируемы, аналитическое получение их производных сопряжено с различной степенью сложности: наиболее требовательна модель ван Халена (1989), наименее — Грина (1989). По текущим данным ни одна из моделей не допускает аналитического (прямого) интегрирования. Учитывая все показатели эффективности, модель Винитцки наиболее согласованна, тогда как приближение ван Халена наименее согласованно. В заключение отмечается, что хотя точности этих приближённых моделей удовлетворительны для большинства инженерных применений, их устойчивость к математическим (аналитическим) операциям оставляет желать лучшего. Хотя существует поле для улучшения, рекомендуется уделять больше усилий развитию теоретически строгих моделей, которые, что парадоксально, не обязательно будут более сложными. Типичные области применения данной работы включают анализ пластов при термических или смешиваемых (miscible) закачках.