ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ. ЧАСТЬ II. ГЕОМЕТРИЯ ЕДИНИЧНОЙ СФЕРЫ

Интерес к геометрическому подходу к изучению банаховых пространств обусловлен следующим обстоятельством. Банаховы пространства обладают богатыми линейными топологическими свойствами, чрезвычайно удобными в приложениях. Однако определение пространства неразрывно связано с нормой, то есть с фиксированным геометрическим объектом — единичным шаром, тогда как линейные топологические свойства зависят (по определению) только от топологии пространства, то есть от класса ограниченных выпуклых тел. Поэтому естественно возникает вопрос: что можно сказать о линейных топологических свойствах пространства в изометрических терминах, то есть оставаясь в рамках заданной нормы? Возможность продуктивного исследования в этом направлении связана прежде всего с бесконечномерным случаем, поскольку в конечномерном случае линейная топология пространства однозначно определяется его размерностью. Ввиду простоты топологических свойств n-мерных пространств целью и основным объектом исследования становятся геометрические вопросы (например, геометрия выпуклых тел). В бесконечномерном случае топологические вопросы представляют значительную сложность. В данной работе я следую традиции и уделяю основное внимание результатам, относящимся к топологическому направлению, хотя, как мне кажется, внутреннее изучение геометрического объекта (бесконечномерного выпуклого тела) представляет не меньший интерес.