Полуклассическое туннелирование для некоторых одномерных операторов Шрёдингера с комплекснозначными потенциалами

Рассматривается несамосопряжённый полуклассический оператор Шрёдингера \mathscr{L}(h) := -h^{2}\partial_{x}^{2}+e^{i\alpha}V, где \alpha \in (-\pi,\pi), а V\colon \R\to \R_{+} — чётная функция, обращающаяся в нуль ровно в двух симметричных невырожденных минимумах. Устанавливается результат о полуклассическом туннелировании: спектр оператора \mathscr{L}(h) вблизи начала координат образован последовательностью алгебраически простых собственных значений, которые образуют экспоненциально близкие пары (на расстоянии порядка \mathscr{O}(e^{-S/h}), где S > 0 явно задаётся), причём каждая пара отделена от остальных расстоянием порядка \mathscr{O}(h). Получена одночленная оценка разности между двумя собственными значениями, имеющими наименьшие модули; она показывает, что при \alpha \neq 0 эти значения быстро вращаются вокруг друг друга при стремлении h к 0.