Методы Гаусса—Ньютона и полного Ньютона в сейсмической инверсии волновых форм в частотной области

Задание дискретной матричной формулировки задачи моделирования в частотно-пространственной области для линейных дифференциальных уравнений в частных производных (методы «FDM») позволяет вывести матричный формализм для стандартных итерационных нелинейных методов решения обратных задач, таких как градиентный метод (метод наискорейшего спуска), метод Гаусса—Ньютона и метод полного Ньютона. Мы получаем выражения для каждого из этих методов непосредственно из дискретного метода FDM и называем такой подход частотной инверсией (FDI). Методы FDI основаны на простых положениях матричной алгебры, но при этом обладают высокой общностью. Методы FDI требуют лишь, чтобы исходные дифференциальные уравнения в частных производных могли быть представлены в виде дискретной краевой задачи, то есть матричной задачи. Простые алгебраические преобразования выражений FDI позволяют вычислять градиент функции невязки всего за три шага прямого моделирования: один шаг для вычисления невязок, один — для обратного распространения невязок и заключительный — для вычисления длины шага. Этот результат полностью аналогичен ранее разработанным методам обратного распространения, выведенным с использованием методов функционального анализа для непрерывных задач. Используя простоту этого результата, мы приводим выражения FDI для приближённой матрицы Гессе, применяемой в методе Гаусса—Ньютона, и полной матрицы Гессе, применяемой в методе полного Ньютона. В рамках нового развития подхода мы показываем, что дополнительный член точной матрицы Гессе, которым пренебрегают в методе Гаусса—Ньютона, можно эффективно вычислять методом обратного распространения, аналогичным методу вычисления вектора градиента. Дополнительный член матрицы Гессе предсказывает ухудшение результатов линеаризованной инверсии вследствие наличия мультиплетов первого порядка, таких как кратные отражения от свободной поверхности в сейсмических данных. Иная интерпретация состоит в том, что этот член предсказывает изменения вектора градиента вследствие нелинейных эффектов второго порядка. В численном эксперименте методы Гаусса—Ньютона и полного Ньютона оказываются эффективными для решения сложной...