Об аналогe задачи о круге Гаусса для групп Гейзенберга

Рассматривается задача оценки остаточного члена \(\mathcal{E}_{q}(x)=\big|\mathbb{Z}^{2q+1}\cap\delta_{x}\mathcal{B}\big|-\operatorname{vol}\big(\mathcal{B}\big)x^{2q+2}\), возникающего при подсчёте точек решётки в дилатациях шара Цигана—Корани в группах Гейзенберга. Для любого \(q\geq3\) доказываются три типа результатов относительно порядка величины \(\mathcal{E}_{q}(x)\): верхняя оценка вида \(|\mathcal{E}_{q}(x)|\ll x^{2q-2/3}\); точная оценка второго момента, показывающая, что в среднеквадратичном смысле \(\mathcal{E}_{q}(x)\) имеет порядок величины \(x^{2q-1}\); и оценка типа \(\Omega\) вида \(\mathcal{E}_{q}(x)=\Omega\big(x^{2q-1}(\log x)^{1/4}(\log\log x)^{1/8}\big)\). Следовательно, получаем нижнюю границу \(\kappa_{q}=\sup\{\alpha>0:|\mathcal{E}_{q}(x)|\ll x^{2q+2-\alpha}\}\geq\frac{8}{3}\) при \(q\geq3\) и выдвигаем гипотезу, что \(\kappa_{q}=3\).