Быстрое решение параболических задач в формате Tensor Train / Quantized Tensor Train с первоначальным применением к уравнению Фоккера–Планка

В статье предлагаются две схемы использования так называемого квантизированного Tensor Train (QTT) аппроксимации для решения многомерных параболических задач. Во-первых, представлен простой одношаговый неявный метод интегрирования по времени с использованием решателя в QTT-формате типа чередующейся линейной схемы (ALS). Во-вторых, рассматривается глобальная пространство–время формулировка, приводящая к большой блочной линейной системе, включающей все временные шаги, которая решается целиком в QTT-формате. Получены оценки QTT-ранга для некоторых классов многомерных потенциалов и соответствующих решений в переменных (x,t). Наблюдается лог-линейная сложность по объему хранения и времени решения относительно размеров как пространственной, так и временной сетки. Метод применён к уравнению Фоккера–Планка, возникающему в моделях «бусины-пружина» полимерных жидкостей.