Методы попеременной минимальной энергии для линейных систем в пространствах высокой размерности

Предлагаются алгоритмы решения линейных систем высокой размерности с симметричной положительно определённой (SPD) матрицей, заданными матрицей и правой частью, в которых решение ищется в формате низкого ранга. Подобно алгоритмам ренормализационной группы матрицы плотности (DMRG), предложенные методы последовательно оптимизируют компоненты тензорного произведения. Для улучшения сходимости пространство поиска расширяется с использованием неточного градиентного направления. Доказывается геометрическая сходимость и оценивается скорость сходимости предложенных методов на основе анализа алгоритма наискорейшего спуска. Сложность представленных алгоритмов линейна по размеру моды и размерности, а продемонстрированная сходимость сопоставима со сходимостью алгоритма DMRG или превосходит её. В численном эксперименте показано, что предложенные методы эффективны также для не-SPD-систем, например возникающих из химического мастер-уравнения, описывающего модель регуляции генов на мезоскопическом масштабе.