Прямое численное решение алгебраических уравнений Ляпунова для крупномасштабных систем с использованием квантованных тензорных поездов

Представлен новый метод решения многомерных алгебраических уравнений Ляпунова, использующий недавно предложенный аппарат численной линейной алгебры на основе квантованных тензорных поездов (QTT). Ключевой особенностью подхода является автоматическое вычисление при заданной допустимой погрешности оптимального приближения решения наименьшего ранга в норме Фробениуса. Низкоранговая структура приближения потенциально обеспечивает суб линейное масштабирование вычислительной сложности по числу состояний динамической системы. Полученные решения представляются в новом матричном тензорном формате, который мы называем векторизованным форматом QTT-матрицы. Эффективность метода продемонстрирована на вычислении граммианов управляемости для дискретизированных уравнений реакции–диффузии. Введён алгоритм для нового тензорного формата решения, предназначенный для вычисления произведения матрицы на вектор, который объединён с известным алгоритмом Ланцоша для вычисления доминирующих собственных значений и собственных векторов матрицы.