Прямое решение химического мастер-уравнения с использованием квантизированных тензорных поясов

Химическое мастер-уравнение (CME) является краеугольным камнем стохастического анализа и моделирования биохимических реакционных сетей. Тем не менее прямые решения CME оставались недостижимыми. Хотя несколько подходов преодолевают бесконечномерную природу CME посредством проекций или иных средств, общей чертой предлагаемых методов является их уязвимость перед проклятием размерности, т.е. экспоненциальный рост требований к памяти и вычислениям с увеличением числа размерностей задачи. Мы представляем новый подход, имеющий потенциал «снять» это проклятие размерности. Подход основан на применении недавно предложенной численной линейной алгебры в формате Quantized Tensor Train (QTT) для низкопараметрического численного представления тензоров. QTT-разложение допускает как алгоритмы для базовой тензорной арифметики со сложностью, масштабируемой линейно по размерности (числу видов) и сублинейно по размеру моды (максимальному числу копий), так и численную процедуру округления тензоров, которая устойчива и квазиоптимальна. Мы показываем, как CME можно представить в формате QTT, затем используем экспоненциально сходящуюся hp-методику дискретизации Гальеркина по времени с разрывами (hp-discontinuous Galerkin) для сведения задачи эволюции CME к набору линейных уравнений с QTT-структурой, решаемых на каждом временном шаге алгоритмом, основанным на методах усечения плотности (Density Matrix Renormalization Group, DMRG) из квантовой химии. Наш метод автоматически адаптирует базис решения на каждом временном шаге, гарантируя, что он достаточно велик для захвата интересующей динамики, но не больше, чем необходимо, поскольку избыточный базис увеличил бы вычислительную сложность. Мы демонстрируем подход на трех примерах из системной биологии: независимый процесс рождения и смерти, пример ферментативного бесполезного цикла и модель стохастического переключателя. Численные результаты по этим примерам показывают, что предложенный метод QTT обеспечивает значительные ускорения и экономию памяти на несколько порядков по сравнению с прямыми методами.