Предобусловленная низкоранговая риманова оптимизация для линейных систем со структурой тензорного произведения

Численное решение задач с частными производными на многомерных областях приводит к вычислительно трудным линейным системам. При использовании стандартных методов дискретизации размер линейной системы экспоненциально растет с числом размерностей, что делает применение классических итерационных решателей невыполнимым. В последние годы были разработаны низкоранговые тензорные подходы, позволяющие смягчить эту «проклятие размерности» за счет использования внутренней структуры линейного оператора. В данной работе мы сосредоточены на тензорах, представленных в тензорных форматах Таккера и тензорного поезда (tensor train). Мы предлагаем два предобусловленных градиентных метода на соответствующих многообразиях низкого ранга: риманову версию предобусловленного метода Рихардсона и приближённую схему Ньютона на основе риманова гессиана. Для последней уделяется значительное внимание эффективному решению возникающего уравнения Ньютона. В численных экспериментах мы сравниваем эффективность наших римановых алгоритмов с другими зарекомендовавшими себя тензорными подходами, такими как усечённый предобусловленный метод Рихардсона и попеременная линейная схема. Результаты показывают, что наша приближённая риманова схема Ньютона существенно быстрее в тех случаях, когда применение линейного оператора дорогостоящо.