Понимание неэрмитовых гамильтонианов

Гамильтониан H задаёт уровни энергии и временную эволюцию квантовой теории. Стандартный аксиом квантовой механики требует, чтобы H был эрмитовым, поскольку эрмитовость гарантирует, что спектр энергий является вещественным, а временная эволюция унитарна (сохранение вероятности). В этой статье описывается альтернативная формулировка квантовой механики, в которой математический аксиом эрмитовости (транспонирование с комплексным сопряжением) заменён физически наглядным условием пространственно-временной отражательной (PT) симметрии. Если H обладает неразрушенной PT-симметрией, то его спектр веществен. Примерами PT-симметричных неэрмитовых квантово-механических гамильтонианов служат H = p^2 + i x^3 и H = p^2 - x^4. Удивительно, но уровни энергии этих гамильтонианов все вещественны и положительны. Описывает ли PT-симметричный гамильтониан H физическую квантовую теорию, в которой нормы состояний положительны и временная эволюция унитарна? Ответ состоит в том, что если H обладает неразрушенной PT-симметрией, то у него есть другая симметрия, представленная линейным оператором C. С помощью C можно построить независимый от времени скалярный произведение с положительно определённой нормой. Таким образом, PT-симметричные гамильтонианы описывают новый класс комплексных квантовых теорий с положительными вероятностями и унитарной временной эволюцией.