Динамическое аппроксимирование тензоров в форматах иерархического Таккера и тензорного поезда

Мы расширяем результаты по динамической низкоранговой аппроксимации для временно-зависимых матриц и тензоров (Koch и Lubich; см. SIAM J. Matrix Anal. Appl., 29 (2007), с. 434–454; SIAM J. Matrix Anal. Appl., 31 (2010), с. 2360–2375) на недавно предложенные форматы тензоров иерархического Таккера (HT) (Hackbusch и Kühn; см. J. Fourier Anal. Appl., 15 (2009), с. 706–722) и тензорного поезда (TT) (Oseledets; см. SIAM J. Sci. Comput., 33 (2011), с. 2295–2317), которые тесно связаны с методами разложения тензоров, используемыми в квантовой физике и химии. В этом подходе динамической аппроксимации производная по времени тензора, подлежащего аппроксимации, проецируется на зависящее от времени касательное пространство многообразия аппроксимаций вдоль траектории решения. Этот подход может применяться для аппроксимации решений тензорных дифференциальных уравнений в форматах HT или TT и для вычисления обновлений в алгоритмах оптимизации в рамках этих редуцированных тензорных форматов. Выведя и проанализировав проектор касательного пространства для многообразия HT/TT тензоров фиксированного ранга, мы получаем оценки кривизны, которые обеспечивают свойства квази-оптимальной аппроксимации для динамической аппроксимации, показывая, что перспективы и ограничения данной идеи сходны с динамической низкоранговой аппроксимацией для матриц. Наши результаты иллюстрируются численными экспериментами.